Cp、Cpk、Pp、Ppk全解
1. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk概念
Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來體現(xiàn)過程能力的指標(biāo),它們是用來測(cè)量過程能力的指數(shù)(process capability index),不是過程能力本身。很多人只知道計(jì)算這些指數(shù),卻并不知道過程的固有能力到底是什么。那什么是過程能力(process capability)?
2. 過程能力的定義
過程能力是指過程本身在沒有外因干預(yù)、沒有漂移(drift)(即統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上可控under statistical control)的情況下其產(chǎn)出品的均一程度 (uniformity of product)。不難理解,我們不可能直接測(cè)量過程本身,而只能通過測(cè)量其產(chǎn)出品的某個(gè)特性來體現(xiàn)其能力。通常用被測(cè)量的特性的離散程度, 即標(biāo)準(zhǔn)方差, (西格瑪),來表示過程能力。而且過程能力被量化為 ,即其總寬度為6個(gè)西格瑪。
例如A過程的西格瑪=2,其過程能力=6*2=12。
B過程的西格瑪=2.5,其過程能力=6*2.5=15。那么問題來啦:A過程和B過程那個(gè)好呢?
答案是:視情況而定(it depends)。為什么?因?yàn)闆]有判斷標(biāo)準(zhǔn)。
3. 衡量過程能力的指標(biāo)的定義與計(jì)算公式
也許你已經(jīng)注意到過程能力的定義與產(chǎn)品的可接受標(biāo)準(zhǔn)(specifications)無關(guān)??墒?span style="color:#337FE5;">拋開產(chǎn)品的可接受標(biāo)準(zhǔn),單純地講過程能力,又毫無意義。這就是為什么人們要引入“過程能力的指標(biāo)(Cp, Cpk, Pp 和 Ppk )”這些概念。
Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指數(shù)是過程能力和可接受標(biāo)準(zhǔn)比較的結(jié)果,也被稱為過程能力比率(process capability ratio)。筆者更傾向于使用過程能力比率,因?yàn)樗庇^。另外這些概念的計(jì)算都引入了標(biāo)準(zhǔn)方差或西格瑪,因此它們都是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的概念,也正是如此它們都沒有單位。
有趣的是,權(quán)威書籍中均沒有體現(xiàn)這幾個(gè)符號(hào)(Cp, Cpk, Pp ,Ppk)所代表的英文詞。而在這個(gè)英文網(wǎng)站上⑥:https://www.isixsigma.com/tools-templates/capability-indices-process-capability/ 有以下的定義:
這些定義很顯然是有問題的,因?yàn)檫@四個(gè)符號(hào)都是“index”或“ratio”。筆者認(rèn)為它們的定義是這樣的:
Cp= Process Capability Ratio 可被譯為“過程能力指數(shù)”
Cpk= Process Capability K Ratio 可被譯為“過程能力K指數(shù)”
Pp= Process Performance Ratio 可被譯為“過程績(jī)效指數(shù)”
Ppk= Process Performance K Ratio 可被譯為“過程績(jī)效K指數(shù)”
注:據(jù)有人說 這里的‘k’ 是 ‘centralizing facteur’⑥,可能是法語(yǔ),即“居中因子”。
據(jù)此,Cp和Cpk被稱為過程能力指數(shù);而Pp和Ppk則被稱為過程績(jī)效指數(shù)。我們權(quán)且將過程能力指數(shù)和績(jī)效指數(shù)統(tǒng)稱為衡量過程能力的指標(biāo)。
以上是關(guān)于Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指標(biāo)的定義。下面我們討論這些指標(biāo)的計(jì)算方法。
了解了這些概念和計(jì)算公式,下面讓我們看看這些指數(shù)的共同點(diǎn)和區(qū)別。
4. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的異同點(diǎn)
4.1 Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的共同點(diǎn):
Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來測(cè)量過程能力的指標(biāo)。它們的共同點(diǎn)是:
? 都被用來表示過程能夠生產(chǎn)出達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品的程度或能力
? 都被用來表示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的比率
? 它們的值越大,過程越能夠更好地生產(chǎn)出達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品
4.2. 有k指數(shù)(Cpk和Ppk)和沒k指數(shù)(Cp和Pp)的區(qū)別:
首先是有k指數(shù)(Cpk和Ppk)和沒k指數(shù)(Cp和Pp)的區(qū)別:沒k指數(shù)(Cp和Pp)只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系;而有k指數(shù)(Cpk和Ppk)除了顯示過程的產(chǎn)出品的散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系外,還關(guān)注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值。其數(shù)學(xué)關(guān)系是:有k指數(shù)永遠(yuǎn)不大于沒k指數(shù),即:
? Cpk≤Cp(當(dāng)過程的產(chǎn)出品的均值和可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值重疊時(shí),Cpk=Cp, 否則Cpk
我在工作中發(fā)現(xiàn)沒K指數(shù)(Cp和Pp)應(yīng)用得較少,估計(jì)是因?yàn)楹苌儆羞^程的產(chǎn)出品的均值正好與可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值重疊。但其實(shí)這是不對(duì)的:有k指數(shù)(Cpk和Ppk)和沒k指數(shù)(Cp和Pp)應(yīng)該一起使用才能準(zhǔn)確體現(xiàn)過程的能力,詳情其后討論。
現(xiàn)在讓我們先看看過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的區(qū)別。
4.3 過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的區(qū)別
過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的區(qū)別,即Cp和Pp的區(qū)別,Cpk和Ppk的區(qū)別。
其中 R-bar是通過將被考量的過程在某一時(shí)段(考察區(qū)間)的產(chǎn)出品的觀察樣本的某個(gè)性能的數(shù)值制成過程控制圖(Control Chart)來得到的;而d2 則是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)常數(shù),與過程控制圖的樣本亞組(subgroup)的樣品個(gè)數(shù)有關(guān),其值可以參考下表⑤。
d2的值可以通過很多書籍查到,但常用的就是n小于10的值。其實(shí)超過5的話數(shù)據(jù)量就很大了。
現(xiàn)在我們了解了S和 西格瑪?shù)膮^(qū)別,那么我們是不是就理解了Cpk和Ppk的區(qū)別了呢?似乎沒那么簡(jiǎn)單。相信大家還是弄不清它們的本質(zhì)區(qū)別。
下面我們用一個(gè)很容易理解的例子來說明一下它們的計(jì)算。
假設(shè)公司有班車接員工上班, 我們讓坐班車的同事記錄班車第一個(gè)站到公司的時(shí)間(分鐘),觀測(cè)了30天,得到下面表格的數(shù)據(jù)。
使用標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算,得出S=11.6。
假設(shè)公司要求司機(jī)每天要在從第一站到公司的時(shí)間要保持在55分鐘到70分鐘之間(時(shí)間太短司機(jī)可能超速,不安全,時(shí)間太長(zhǎng)班車會(huì)晚點(diǎn)),則LSL=55,USL=70。套用以上的公式可以得到以下Pp和Ppk的結(jié)果。
根據(jù)這個(gè)控制圖,得到 R-bar=12.7。
運(yùn)用上面的公式 可以得到 西格瑪=12.7/1.128=11.259。
再運(yùn)用Cp和Cpk的公式得到:
Cp = 0.222, Cpk = 0.138
綜上我們可以得到以下的結(jié)果:
Pp = 0.216 Ppk = 0.134;Cp = 0.222, Cpk = 0.138
大多數(shù)人可能都會(huì)得到這樣的結(jié)果并就此打住。但是這里關(guān)于Cp和Cpk的計(jì)算存在很明顯的錯(cuò)誤,因?yàn)?span style="color:#E53333;">Cp和Cpk的計(jì)算是有兩個(gè)必要條件的:
1. 過程是穩(wěn)定的(處于統(tǒng)計(jì)受控狀態(tài))
2. 所觀測(cè)的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的
沒有這兩個(gè)必要條件所計(jì)算出來的Cp和Cpk值是不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的,或者說所得到的Cp和Cpk不準(zhǔn)確。
上圖很明顯地看出,這個(gè)過程是處在“非穩(wěn)定或非可控”(not stable or not under control)狀態(tài),因?yàn)閳D中有1個(gè)點(diǎn)超出了控制上限(UCL)。根
Cp和Cpk的定義,該組數(shù)據(jù)中有特別原因造成的點(diǎn),過程不穩(wěn)定,因此不能直接用此控制圖的數(shù)據(jù)來計(jì)算Cp和Cpk。這也是為什么不要用數(shù)學(xué)公式來直接計(jì)算 并計(jì)算Cp和Cpk的原因。為了得到穩(wěn)定的過程控制圖,需要把這個(gè)點(diǎn)去掉,再重新制圖,得到下面的控制圖。
請(qǐng)注意這個(gè)圖還是有一個(gè)點(diǎn)是超出控制線的(R-圖中的虛線的點(diǎn)),這個(gè)點(diǎn)也應(yīng)該被去掉。去掉這個(gè)點(diǎn),可以得到下面的控制圖。
于是我們得到結(jié)果:
Cp = 0.330
Cpk = 0.193
可以看出實(shí)際的Cp和Cpk都有所增加。也就是說如果過程不穩(wěn)定,計(jì)算出來的Cp和Cpk值會(huì)偏低,這就會(huì)低估過程的潛在能力。
根據(jù)定義,Pp和Ppk 的計(jì)算是不可以把這兩個(gè)點(diǎn)去掉的。因此Pp和Ppk 是不需要重新計(jì)算的。這樣針對(duì)這個(gè)例子中的數(shù)據(jù),我們可以得到:
Pp = 0.216, Cp = 0.330;
Ppk = 0.134, Cpk = 0.193;
除了過程穩(wěn)定,過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)的計(jì)算還需要數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布。那么這組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布呢?我們可以借助統(tǒng)計(jì)學(xué)工具來做分析,如下圖。可以看出p>0.05,所以這組數(shù)據(jù)是成正態(tài)分布的。所以上面的計(jì)算是成立的。
值得注意的是數(shù)據(jù)是否成正態(tài)分布與過程是否穩(wěn)定沒有直接的關(guān)系。不穩(wěn)定的過程的數(shù)據(jù)也可能是成正態(tài)分布的。
至此,該組數(shù)據(jù)(去掉兩個(gè)點(diǎn))通過了這兩個(gè)測(cè)試:過程穩(wěn)定和正態(tài)分布。因此上面的關(guān)于Cp和Cpk的計(jì)算是正確的。而用于Pp和Ppk計(jì)算的數(shù)據(jù)則不必進(jìn)行這兩個(gè)測(cè)試。
通過這個(gè)例子,可以將過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的區(qū)別總結(jié)如下:
1. 過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)表示的是過程在穩(wěn)定(即沒有任何特殊原因或漂移干擾產(chǎn)出品的特性或者說是在可控(under control)的)狀態(tài)下能使其產(chǎn)出品達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn) 的程度的指標(biāo),也可以理解為過程的"潛在"能力。(注:"潛在"是相對(duì)目前的過程條件而言,改變過程條件可以不斷提高Cp和Cpk,這就是不斷改進(jìn)(continuous improvement )的理念。因此將Cp和Cpk翻譯成"過程潛能指數(shù)"和"過程潛能K指數(shù)"更為貼切。因?yàn)镃p和Cpk體現(xiàn)的是穩(wěn)定狀態(tài)下過程的潛在能力,因此Cp和Cpk可以用來預(yù)測(cè)該過程將來在現(xiàn)有過程條件下的最好的情況。
2. 過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)則是過程在過去某個(gè)觀察時(shí)段內(nèi)的實(shí)際績(jī)效,即是該過程的已經(jīng)產(chǎn)生的產(chǎn)出品實(shí)際達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的情況。它們不考慮過程是否穩(wěn)定,即便可能包括特殊原因(special cause)干擾產(chǎn)出品的特性或者說過程不一定處在一個(gè)可控的狀態(tài)(out of control),同樣可以計(jì)算出Pp和Ppk。由于Pp和Ppk是體現(xiàn)過程在過去的某個(gè)時(shí)段的績(jī)效,所以Pp和Ppk被稱為"過程績(jī)效指數(shù)"。也正因如此,Pp和Ppk 僅代表過程過去的情況,并不能用來預(yù)測(cè)過程將來的狀態(tài)(將來可能更好也可能更壞,當(dāng)然也可能一樣)。
許多作者反對(duì)使用過程績(jī)效指數(shù),因?yàn)樗鼈儧]有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,而且認(rèn)為是統(tǒng)計(jì)學(xué)在SPC--統(tǒng)計(jì)學(xué)過程控制中應(yīng)用的倒退。有趣的是過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)是美國(guó)三大汽車公司為了對(duì)其供應(yīng)商的績(jī)效進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化而產(chǎn)生的,并且被納入了美國(guó)ANSI標(biāo)準(zhǔn)。
筆者認(rèn)為過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的產(chǎn)生與其計(jì)算簡(jiǎn)單且沒有太多的統(tǒng)計(jì)學(xué)限制有關(guān)。因?yàn)樗鼈兪冀K不會(huì)大于過程能力指數(shù)(Cp和Cpk),作為過程過去的業(yè)績(jī)指標(biāo)還是可以的。但是它們會(huì)低估過程的實(shí)際潛在能力,可能誤導(dǎo)過程改進(jìn)的方向。
3. 許多作者都認(rèn)為過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)是短期過程能力指標(biāo),而過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)是長(zhǎng)期過程能力指標(biāo)①②③⑥。但這個(gè)說法很容易被誤解為Cp和Cpk是短時(shí)間收集的數(shù)據(jù),而Pp和Ppk是長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)收集的數(shù)據(jù)。而實(shí)際上這里的"短期""長(zhǎng)期"與采集數(shù)據(jù)的時(shí)間長(zhǎng)短沒有任何關(guān)系①,因?yàn)槎唐跍y(cè)試結(jié)果也可能存在由特殊原因引起的離散(variability),而長(zhǎng)期收集的數(shù)據(jù)也可能沒有特別原因引起的離散。其本質(zhì)的區(qū)別是計(jì)算中是否允許有被特殊原因引起離散的數(shù)據(jù):Pp和Ppk是將所有被觀測(cè)的樣本數(shù)據(jù)都用于標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算, 而用于計(jì)算Cp和Cpk的西格瑪不應(yīng)該包括由特殊原因引起離散的數(shù)據(jù)。
綜上,我們可以將過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)及過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的本質(zhì)區(qū)別總結(jié)如下:過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)是過程的過去或現(xiàn)實(shí);而過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)是過程的潛能或?qū)怼_^程能力指數(shù)的計(jì)算必須滿足"過程穩(wěn)定"和"數(shù)據(jù)正態(tài)分布"兩個(gè)必要條件;而用于Pp和Ppk計(jì)算的數(shù)據(jù)則不必進(jìn)行這兩個(gè)測(cè)試。過程能力指數(shù)及過程績(jī)效指數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系是:Cp≥Pp , Cpk≥Ppk。當(dāng)過程穩(wěn)定(stable或under control)且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布時(shí)Cp=Pp,Cpk=Ppk(注意這里的"="是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的相同);只要有特殊原因存在, Cp>Pp , Cpk>Ppk。理解這一點(diǎn)對(duì)它們的應(yīng)用很關(guān)鍵。
5. Cp,Pp ,Cpk和Ppk的應(yīng)用
首先了解過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的區(qū)別可以幫助理解在什么情況下采用哪個(gè)指標(biāo)。通常要知道過程的實(shí)際績(jī)效情況,即過程實(shí)際的產(chǎn)出品滿足可接受標(biāo)準(zhǔn)的情況,應(yīng)該采用過程績(jī)效指數(shù)。如果想知道目前的過程是否已經(jīng)是達(dá)到了穩(wěn)定的潛在狀態(tài)時(shí),可以比較過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的差別,即Cp和Pp, Cpk和Ppk的差別:二者差別越小,說明目前的過程的績(jī)效越接近穩(wěn)定狀態(tài),即過程不存在太多的特殊原因引起的偏離(variation)。如果差異很大,則說明過程不穩(wěn)定,需要找出那些特別的原因,消除這些原因,過程即可被改進(jìn)。管理者也可以利用過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的差別,制訂不斷改進(jìn)的目標(biāo)。例如上面的例子Ppk=0.134, Cpk=0.193。目標(biāo)可以是讓Ppk達(dá)到0.193.
了解了有K和沒K的區(qū)別可以幫助公司判斷過程的產(chǎn)出品是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值。如果Pp和Ppk比較,Cp和Cpk比較,相差不大,說明過程的產(chǎn)出品的特性均值沒有偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值太多。要提高Ppk或Cpk的值,只能減少點(diǎn)間差或樣品亞組內(nèi)最大和最小值的差異,即降低過程的標(biāo)準(zhǔn)方差(S或 西格瑪)。如果Pp和Ppk比較,Cp和Cpk比較,相差很大,那么將過程的產(chǎn)出品的特性的均值調(diào)整到可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值,就會(huì)很有效地提高Ppk和Cpk值,使過程能更好地滿足可接受標(biāo)準(zhǔn)的要求。當(dāng)然這也可以通過計(jì)算樣本的均值,并和可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值比較來完成。
另外,過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)可以被用來衡量供應(yīng)商的業(yè)績(jī)。如果可接受標(biāo)準(zhǔn)是一樣的,當(dāng)然指數(shù)越大的供應(yīng)商越好。
值得注意的是經(jīng)典的作者都沒有將過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)作為考量過程是否能達(dá)標(biāo)的指標(biāo),因?yàn)榭?jī)效指數(shù)的計(jì)算沒有考慮過程是否穩(wěn)定,而沒有穩(wěn)定性就沒有過程能力可言。
6. 總結(jié)
過程能力是指過程離散度的6西格瑪寬度,與其產(chǎn)出品的可接受標(biāo)準(zhǔn)無關(guān)。如果過程的產(chǎn)出品的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的,那么99.73%的數(shù)據(jù)會(huì)落在這個(gè)6西格瑪?shù)膶挾葍?nèi)。
常用的衡量過程能力的指標(biāo)有過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)。沒k指數(shù)(Cp和Pp)只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系;而有k指數(shù)(Cpk和Ppk)除了顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系外,還關(guān)注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值,其數(shù)學(xué)關(guān)系是:Cpk≤Cp;Ppk≤Pp。
過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)和過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的主要區(qū)別是:
1)過程能力指數(shù)Cp和Cpk)的計(jì)算需要滿足兩個(gè)條件--過程穩(wěn)定且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布,而過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的計(jì)算則不需要考慮這兩個(gè)條件。
過程能力指數(shù)(Cp和Cpk)是具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的指數(shù),表示的是過程的“潛能”,可以用來預(yù)測(cè)過程的將來,而過程績(jī)效指數(shù)(Pp和Ppk)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義并不被專家們接受,并且不能被用來有效地預(yù)測(cè)過程的未來。
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