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Cp、Cpk、Pp、Ppk全解

1. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk概念

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來體現(xiàn)過程能力的指標，它們是用來測量過程能力的指數(shù)（process capability index），不是過程能力本身。很多人只知道計算這些指數(shù)，卻并不知道過程的固有能力到底是什么。那什么是過程能力（process capability）？

2. 過程能力的定義

過程能力是指過程本身在沒有外因干預、沒有漂移（drift）（即統(tǒng)計學意義上可控under statistical control）的情況下其產(chǎn)出品的均一程度 (uniformity of product)。不難理解，我們不可能直接測量過程本身，而只能通過測量其產(chǎn)出品的某個特性來體現(xiàn)其能力。通常用被測量的特性的離散程度， 即標準方差， （西格瑪），來表示過程能力。而且過程能力被量化為 ，即其總寬度為6個西格瑪。

例如A過程的西格瑪=2，其過程能力=6*2=12。

B過程的西格瑪=2.5，其過程能力=6*2.5=15。那么問題來啦：A過程和B過程那個好呢？

答案是：視情況而定（it depends）。為什么？因為沒有判斷標準。

3. 衡量過程能力的指標的定義與計算公式

也許你已經(jīng)注意到過程能力的定義與產(chǎn)品的可接受標準(specifications)無關。可是拋開產(chǎn)品的可接受標準，單純地講過程能力，又毫無意義。這就是為什么人們要引入“過程能力的指標（Cp, Cpk, Pp 和 Ppk ）”這些概念。

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指數(shù)是過程能力和可接受標準比較的結果，也被稱為過程能力比率（process capability ratio）。筆者更傾向于使用過程能力比率，因為它直觀。另外這些概念的計算都引入了標準方差或西格瑪，因此它們都是統(tǒng)計學意義上的概念，也正是如此它們都沒有單位。

有趣的是，權威書籍中均沒有體現(xiàn)這幾個符號（Cp, Cpk, Pp ,Ppk）所代表的英文詞。而在這個英文網(wǎng)站上⑥：https://www.isixsigma.com/tools-templates/capability-indices-process-capability/ 有以下的定義：

這些定義很顯然是有問題的，因為這四個符號都是“index”或“ratio”。筆者認為它們的定義是這樣的：

Cp= Process Capability Ratio 可被譯為“過程能力指數(shù)”

Cpk= Process Capability K Ratio 可被譯為“過程能力K指數(shù)”

Pp= Process Performance Ratio 可被譯為“過程績效指數(shù)”

Ppk= Process Performance K Ratio  可被譯為“過程績效K指數(shù)”

注：據(jù)有人說 這里的‘k’ 是 ‘centralizing facteur’⑥，可能是法語，即“居中因子”。

據(jù)此，Cp和Cpk被稱為過程能力指數(shù)；而Pp和Ppk則被稱為過程績效指數(shù)。我們權且將過程能力指數(shù)和績效指數(shù)統(tǒng)稱為衡量過程能力的指標。

以上是關于Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指標的定義。下面我們討論這些指標的計算方法。

了解了這些概念和計算公式，下面讓我們看看這些指數(shù)的共同點和區(qū)別。

4. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的異同點

4.1 Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的共同點：

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來測量過程能力的指標。它們的共同點是：

? 都被用來表示過程能夠生產(chǎn)出達到可接受標準的產(chǎn)品的程度或能力

? 都被用來表示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的比率

? 它們的值越大，過程越能夠更好地生產(chǎn)出達到可接受標準的產(chǎn)品

4.2. 有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）的區(qū)別：

首先是有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）的區(qū)別：沒k指數(shù)（Cp和Pp）只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關系；而有k指數(shù)（Cpk和Ppk）除了顯示過程的產(chǎn)出品的散程度和可接受標準的關系外，還關注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標準的中間值。其數(shù)學關系是：有k指數(shù)永遠不大于沒k指數(shù)，即：

? Cpk≤Cp（當過程的產(chǎn)出品的均值和可接受標準的中間值重疊時，Cpk=Cp， 否則Cpk

? Ppk≤Pp（當過程的產(chǎn)出品的均值和可接受標準的中間值重疊時，Ppk=Pp， 否則Ppk

我在工作中發(fā)現(xiàn)沒K指數(shù)（Cp和Pp）應用得較少，估計是因為很少有過程的產(chǎn)出品的均值正好與可接受標準的中間值重疊。但其實這是不對的：有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）應該一起使用才能準確體現(xiàn)過程的能力，詳情其后討論。

現(xiàn)在讓我們先看看過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別。

4.3 過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別，即Cp和Pp的區(qū)別，Cpk和Ppk的區(qū)別。

其中 R-bar是通過將被考量的過程在某一時段（考察區(qū)間）的產(chǎn)出品的觀察樣本的某個性能的數(shù)值制成過程控制圖（Control Chart）來得到的；而d2 則是一個統(tǒng)計學常數(shù)，與過程控制圖的樣本亞組（subgroup）的樣品個數(shù)有關，其值可以參考下表⑤。

d2的值可以通過很多書籍查到，但常用的就是n小于10的值。其實超過5的話數(shù)據(jù)量就很大了。

現(xiàn)在我們了解了S和 西格瑪?shù)膮^(qū)別，那么我們是不是就理解了Cpk和Ppk的區(qū)別了呢？似乎沒那么簡單。相信大家還是弄不清它們的本質區(qū)別。

下面我們用一個很容易理解的例子來說明一下它們的計算。

假設公司有班車接員工上班， 我們讓坐班車的同事記錄班車第一個站到公司的時間（分鐘），觀測了30天，得到下面表格的數(shù)據(jù)。

使用標準差公式計算，得出S=11.6。

假設公司要求司機每天要在從第一站到公司的時間要保持在55分鐘到70分鐘之間（時間太短司機可能超速，不安全，時間太長班車會晚點），則LSL=55，USL=70。套用以上的公式可以得到以下Pp和Ppk的結果。

根據(jù)這個控制圖，得到 R-bar=12.7。

運用上面的公式 可以得到 西格瑪=12.7/1.128=11.259。

再運用Cp和Cpk的公式得到：

Cp =  0.222，   Cpk =  0.138

綜上我們可以得到以下的結果：

Pp =  0.216  Ppk =  0.134；Cp =  0.222，  Cpk =  0.138

大多數(shù)人可能都會得到這樣的結果并就此打住。但是這里關于Cp和Cpk的計算存在很明顯的錯誤，因為Cp和Cpk的計算是有兩個必要條件的：

1. 過程是穩(wěn)定的(處于統(tǒng)計受控狀態(tài))

2. 所觀測的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的

沒有這兩個必要條件所計算出來的Cp和Cpk值是不具有統(tǒng)計學意義的，或者說所得到的Cp和Cpk不準確。

上圖很明顯地看出，這個過程是處在“非穩(wěn)定或非可控”（not stable or not under control）狀態(tài)，因為圖中有1個點超出了控制上限（UCL）。根

Cp和Cpk的定義，該組數(shù)據(jù)中有特別原因造成的點，過程不穩(wěn)定，因此不能直接用此控制圖的數(shù)據(jù)來計算Cp和Cpk。這也是為什么不要用數(shù)學公式來直接計算 并計算Cp和Cpk的原因。為了得到穩(wěn)定的過程控制圖，需要把這個點去掉，再重新制圖，得到下面的控制圖。

請注意這個圖還是有一個點是超出控制線的（R-圖中的虛線的點），這個點也應該被去掉。去掉這個點，可以得到下面的控制圖。

于是我們得到結果：

Cp = 0.330

Cpk = 0.193

可以看出實際的Cp和Cpk都有所增加。也就是說如果過程不穩(wěn)定，計算出來的Cp和Cpk值會偏低，這就會低估過程的潛在能力。
根據(jù)定義，Pp和Ppk 的計算是不可以把這兩個點去掉的。因此Pp和Ppk 是不需要重新計算的。這樣針對這個例子中的數(shù)據(jù)，我們可以得到：

Pp = 0.216, Cp = 0.330;

Ppk = 0.134, Cpk = 0.193;

除了過程穩(wěn)定，過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）的計算還需要數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布。那么這組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布呢？我們可以借助統(tǒng)計學工具來做分析，如下圖?？梢钥闯鰌>0.05，所以這組數(shù)據(jù)是成正態(tài)分布的。所以上面的計算是成立的。

值得注意的是數(shù)據(jù)是否成正態(tài)分布與過程是否穩(wěn)定沒有直接的關系。不穩(wěn)定的過程的數(shù)據(jù)也可能是成正態(tài)分布的。

至此，該組數(shù)據(jù)(去掉兩個點)通過了這兩個測試：過程穩(wěn)定和正態(tài)分布。因此上面的關于Cp和Cpk的計算是正確的。而用于Pp和Ppk計算的數(shù)據(jù)則不必進行這兩個測試。

通過這個例子，可以將過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別總結如下：

1. 過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）表示的是過程在穩(wěn)定（即沒有任何特殊原因或漂移干擾產(chǎn)出品的特性或者說是在可控（under control）的）狀態(tài)下能使其產(chǎn)出品達到可接受標準 的程度的指標，也可以理解為過程的"潛在"能力。（注："潛在"是相對目前的過程條件而言，改變過程條件可以不斷提高Cp和Cpk，這就是不斷改進（continuous  improvement ）的理念。因此將Cp和Cpk翻譯成"過程潛能指數(shù)"和"過程潛能K指數(shù)"更為貼切。因為Cp和Cpk體現(xiàn)的是穩(wěn)定狀態(tài)下過程的潛在能力，因此Cp和Cpk可以用來預測該過程將來在現(xiàn)有過程條件下的最好的情況。

2. 過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）則是過程在過去某個觀察時段內(nèi)的實際績效，即是該過程的已經(jīng)產(chǎn)生的產(chǎn)出品實際達到可接受標準的情況。它們不考慮過程是否穩(wěn)定，即便可能包括特殊原因（special cause）干擾產(chǎn)出品的特性或者說過程不一定處在一個可控的狀態(tài)（out of control），同樣可以計算出Pp和Ppk。由于Pp和Ppk是體現(xiàn)過程在過去的某個時段的績效，所以Pp和Ppk被稱為"過程績效指數(shù)"。也正因如此，Pp和Ppk  僅代表過程過去的情況，并不能用來預測過程將來的狀態(tài)（將來可能更好也可能更壞，當然也可能一樣）。

許多作者反對使用過程績效指數(shù)，因為它們沒有統(tǒng)計學意義，而且認為是統(tǒng)計學在SPC--統(tǒng)計學過程控制中應用的倒退。有趣的是過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）是美國三大汽車公司為了對其供應商的績效進行標準化而產(chǎn)生的，并且被納入了美國ANSI標準。
筆者認為過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的產(chǎn)生與其計算簡單且沒有太多的統(tǒng)計學限制有關。因為它們始終不會大于過程能力指數(shù)（Cp和Cpk），作為過程過去的業(yè)績指標還是可以的。但是它們會低估過程的實際潛在能力，可能誤導過程改進的方向。

3. 許多作者都認為過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是短期過程能力指標，而過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）是長期過程能力指標①②③⑥。但這個說法很容易被誤解為Cp和Cpk是短時間收集的數(shù)據(jù)，而Pp和Ppk是長時間觀測收集的數(shù)據(jù)。而實際上這里的"短期""長期"與采集數(shù)據(jù)的時間長短沒有任何關系①，因為短期測試結果也可能存在由特殊原因引起的離散（variability），而長期收集的數(shù)據(jù)也可能沒有特別原因引起的離散。其本質的區(qū)別是計算中是否允許有被特殊原因引起離散的數(shù)據(jù)：Pp和Ppk是將所有被觀測的樣本數(shù)據(jù)都用于標準方差的計算， 而用于計算Cp和Cpk的西格瑪不應該包括由特殊原因引起離散的數(shù)據(jù)。

綜上，我們可以將過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）及過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的本質區(qū)別總結如下：過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）是過程的過去或現(xiàn)實；而過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是過程的潛能或將來。過程能力指數(shù)的計算必須滿足"過程穩(wěn)定"和"數(shù)據(jù)正態(tài)分布"兩個必要條件；而用于Pp和Ppk計算的數(shù)據(jù)則不必進行這兩個測試。過程能力指數(shù)及過程績效指數(shù)的數(shù)學關系是：Cp≥Pp ， Cpk≥Ppk。當過程穩(wěn)定（stable或under control）且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布時Cp=Pp，Cpk=Ppk（注意這里的"="是統(tǒng)計學意義上的相同)；只要有特殊原因存在， Cp>Pp , Cpk>Ppk。理解這一點對它們的應用很關鍵。

5. Cp，Pp ，Cpk和Ppk的應用

首先了解過程能力指數(shù)和過程績效指數(shù)的區(qū)別可以幫助理解在什么情況下采用哪個指標。通常要知道過程的實際績效情況，即過程實際的產(chǎn)出品滿足可接受標準的情況，應該采用過程績效指數(shù)。如果想知道目前的過程是否已經(jīng)是達到了穩(wěn)定的潛在狀態(tài)時，可以比較過程能力指數(shù)和過程績效指數(shù)的差別，即Cp和Pp， Cpk和Ppk的差別：二者差別越小，說明目前的過程的績效越接近穩(wěn)定狀態(tài)，即過程不存在太多的特殊原因引起的偏離（variation）。如果差異很大，則說明過程不穩(wěn)定，需要找出那些特別的原因，消除這些原因，過程即可被改進。管理者也可以利用過程能力指數(shù)和過程績效指數(shù)的差別，制訂不斷改進的目標。例如上面的例子Ppk=0.134， Cpk=0.193。目標可以是讓Ppk達到0.193.

了解了有K和沒K的區(qū)別可以幫助公司判斷過程的產(chǎn)出品是否偏離可接受標準的中間值。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差不大，說明過程的產(chǎn)出品的特性均值沒有偏離可接受標準的中間值太多。要提高Ppk或Cpk的值，只能減少點間差或樣品亞組內(nèi)最大和最小值的差異，即降低過程的標準方差（S或 西格瑪）。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差很大，那么將過程的產(chǎn)出品的特性的均值調整到可接受標準的中間值，就會很有效地提高Ppk和Cpk值，使過程能更好地滿足可接受標準的要求。當然這也可以通過計算樣本的均值，并和可接受標準的中間值比較來完成。

另外，過程能力指數(shù)和過程績效指數(shù)可以被用來衡量供應商的業(yè)績。如果可接受標準是一樣的，當然指數(shù)越大的供應商越好。

值得注意的是經(jīng)典的作者都沒有將過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）作為考量過程是否能達標的指標，因為績效指數(shù)的計算沒有考慮過程是否穩(wěn)定，而沒有穩(wěn)定性就沒有過程能力可言。

6. 總結

過程能力是指過程離散度的6西格瑪寬度，與其產(chǎn)出品的可接受標準無關。如果過程的產(chǎn)出品的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的，那么99.73%的數(shù)據(jù)會落在這個6西格瑪?shù)膶挾葍?nèi)。

常用的衡量過程能力的指標有過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）。沒k指數(shù)（Cp和Pp）只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關系；而有k指數(shù)（Cpk和Ppk）除了顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關系外，還關注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標準的中間值，其數(shù)學關系是：Cpk≤Cp；Ppk≤Pp。

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的主要區(qū)別是:

1）過程能力指數(shù)Cp和Cpk）的計算需要滿足兩個條件--過程穩(wěn)定且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，而過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的計算則不需要考慮這兩個條件。

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是具有統(tǒng)計學意義的指數(shù)，表示的是過程的“潛能”，可以用來預測過程的將來，而過程績效指數(shù)（Pp和Ppk）的統(tǒng)計學意義并不被專家們接受，并且不能被用來有效地預測過程的未來。